Curso Estructuras Algebriacas

Anillos de Polinomios

4/20/2020

Oscar Hernandez

5/1/2020 01:16:36 am

Buenas noches profe, tengo dudas con la multiplicación de polinomios, que coeficientes se suman y cuales se multiplican, en la definición el limite superior de la suma lo multiplico (mn) pero luego en la demostración del lema corrige y dice que se suman (m+n), pero si hacemos eso queda la misma definición con la suma si k = 0 Bueno es que esta confuso esa parte, y no entendí como podríamos manejar la multiplicación ya con ejemplos reales usando la definición como en el ejemplo que nos dio.

Y la otra duda, escogió el símbolo infinito como una "cosa" a la que le podremos hacer operaciones, supongo yo llegara el momento donde tengamos que dividir entre infinito y ahí entrarían teoremas que nos da el Cálculo, o solo lo debemos verlo como otra cosa que no tiene nada que ver con lo que se sabe de infinito por el Cálculo.

Profesor

5/1/2020 09:35:06 am

El símbolo -infinito se usa para poder diferenciar al 0 de los demás polinomios, también sirve para poder probar las formulas del grado:
gr(fg)=gr(f)+gr(g) y gr(f+g)=<max{gf(f),gr(g)}
cuando uno de los polinomios es el 0. Y no, en ningún momento vamos a dividir entre -infinito.
Respecto al producto, como está aquí arriba la fórmula del grado, dados dos polinomios f(x) y g(x) de grado n y m respectivamente, el grado de su multiplicación es n+m. En ejemplos, es la multiplicación natural y hay que ir sumando los exponentes de las x y agrupando los terminos con la misma x:
(x^2+1)(x^3+2x)=x^2(x^3+2x)+1(x^3+2x)=x^5+2x^3+x^3+2x
=x^5+3x^3+2x.

Victor

5/24/2020 03:16:36 pm

Buenos días profesor, en la definición de divisibilidad que dábamos para Z, decíamos que

Def: Sean a.b en Z, con b distinto de cero. Decimos que b|a si existe q en Z, tal que a=bq

Hacíamos la distinción de que b debía ser distinto de cero. En K[x], la definición dada en el vídeo no hace distinción, mi duda es, que ¿se puede tener que el polinomio cero divida a otro polinomio?. dado que dijimos que al anillo de polinomios en un campo tiene cosas parecidas al anillo Z

Me surgió la duda mientras resolvia el ejercicio 5 de la cuarta Tarea

Profesor

5/26/2020 08:55:18 am

Hola, ahí se me fue. Sí hay que hacer la distinción de no dividir entre cero. Entonces la definición debería de decir: Dados f(x),g(x) en K[x] con f(x) disinto de cero, decimos que f(x) divide a g(x) si existe h(x) tal que f(x)h(x)=g(x)

Introducción a las Estructuras Algebraicas

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